الحافة الجانبية لصيغة المنشور المستقيم. تعريف وخصائص المنشور

محاضرة: المنشور، قواعده، أضلاعه الجانبية، ارتفاعه، سطحه الجانبي؛ المنشور المستقيم المنشور الصحيح

موشور

إذا كنت قد تعلمت معنا الأشكال المسطحة من الأسئلة السابقة، فأنت على استعداد تام لدراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد. أول مادة صلبة سنتعلمها هي المنشور.

موشورهو جسم ثلاثي الأبعاد له عدد كبير من الوجوه.

يحتوي هذا الشكل على مضلعين عند قاعدتيه، ويقعان في مستويات متوازية، وجميع الوجوه الجانبية لها شكل متوازي الأضلاع.

الشكل 1. الشكل. 2

لذلك، دعونا معرفة ما يتكون المنشور. للقيام بذلك، انتبه إلى الشكل 1

كما ذكرنا سابقًا، للمنشور قاعدتان متوازيتان - وهما المضلعان ABCEF وGMNJK. علاوة على ذلك، فإن هذه المضلعات متساوية مع بعضها البعض.

تسمى جميع الوجوه الأخرى للمنشور بأوجه جانبية - وهي تتكون من متوازيات الأضلاع. على سبيل المثال، BMNC، AGKF، FKJE، إلخ.

يسمى السطح الكلي لجميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي.

كل زوج من الوجوه المتجاورة له جانب مشترك. هذا الجانب المشترك يسمى الحافة. على سبيل المثال، MV، SE، AB، إلخ.

إذا كانت القاعدة العلوية والسفلية للمنشور متصلة بشكل عمودي، فسوف يطلق عليه ارتفاع المنشور. في الشكل، تم تحديد الارتفاع كخط مستقيم OO 1.

هناك نوعان رئيسيان من المنشور: مائل ومستقيم.

إذا كانت الحواف الجانبية للمنشور ليست متعامدة مع القواعد، فإن هذا المنشور يسمى يميل.

إذا كانت جميع حواف المنشور متعامدة مع القواعد، يسمى هذا المنشور مباشر.

إذا كانت قواعد المنشور تحتوي على مضلعات منتظمة (تلك ذات الجوانب المتساوية)، فإن هذا المنشور يسمى صحيح.

إذا كانت قواعد المنشور ليست متوازية مع بعضها البعض، فسيتم استدعاء هذا المنشور مبتورة.

يمكنك رؤيته في الشكل 2

صيغ للعثور على حجم ومساحة المنشور

هناك ثلاث صيغ أساسية للعثور على الحجم. أنها تختلف عن بعضها البعض في التطبيق:

صيغ مماثلة للعثور على مساحة سطح المنشور:

معلومات عامة عن المنشور المستقيم

يُطلق على السطح الجانبي للمنشور (أو بالأحرى مساحة السطح الجانبية). مجموعمناطق الوجوه الجانبية. إجمالي سطح المنشور يساوي مجموع الأسطح الجانبية ومساحات القواعد.

نظرية 19.1. السطح الجانبي للمنشور المستقيم يساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور، أي طول الحافة الجانبية.

دليل. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات. قواعد هذه المستطيلات هي أضلاع المضلع الواقع عند قاعدة المنشور، وارتفاعاتها تساوي طول أحرفها الجانبية. ويترتب على ذلك أن السطح الجانبي للمنشور يساوي

S = أ 1 ل + أ 2 ل + ... + أ ن ل = رر،

حيث a 1 و n هما طولا حواف القاعدة، وp هو محيط قاعدة المنشور، وI هو طول الحواف الجانبية. لقد تم إثبات النظرية.

مهمة عملية

مشكلة (22) . في المنشور المائل يتم تنفيذه قسم، عمودي على الأضلاع الجانبية ويتقاطع مع جميع الأضلاع الجانبية. أوجد السطح الجانبي للمنشور إذا كان محيط المقطع يساوي p والحواف الجانبية تساوي l.

حل. يقسم مستوى القسم المرسوم المنشور إلى قسمين (الشكل 411). دعونا نخضع إحداها للترجمة المتوازية، من خلال الجمع بين قواعد المنشور. في هذه الحالة نحصل على منشور مستقيم، قاعدته هي المقطع العرضي للمنشور الأصلي، وحوافه الجانبية تساوي l. هذا المنشور له نفس السطح الجانبي للمنشور الأصلي. وبالتالي، فإن السطح الجانبي للمنشور الأصلي يساوي رر.

ملخص الموضوع المطروح

والآن دعونا نحاول تلخيص الموضوع الذي تناولناه حول المنشور ونتذكر خصائص المنشور.

خصائص المنشور

أولًا، المنشور له جميع قواعده على شكل مضلعات متساوية؛
ثانيًا، في المنشور، جميع وجوهه الجانبية متوازية الأضلاع؛
ثالثا، في مثل هذا الشكل متعدد الأوجه، مثل المنشور، تكون جميع الحواف الجانبية متساوية؛

ويجب أن نتذكر أيضًا أن متعددات الوجوه مثل المنشور يمكن أن تكون مستقيمة أو مائلة.

ما المنشور الذي يسمى المنشور المستقيم؟

إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى مستقيمًا.

لن يكون من غير الضروري أن نتذكر أن الأوجه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات.

ما هو نوع المنشور الذي يسمى المائل؟

لكن إذا لم تكن الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فيمكننا أن نقول بأمان أنه منشور مائل.

أي منشور يسمى صحيح؟

إذا كان المضلع المنتظم يقع عند قاعدة منشور مستقيم، فإن هذا المنشور يكون منتظمًا.

الآن دعونا نتذكر الخصائص التي يمتلكها المنشور العادي.

خصائص المنشور العادي

أولاً، تعمل المضلعات المنتظمة دائمًا بمثابة قواعد لمنشور منتظم؛
ثانيًا، إذا نظرنا إلى الأوجه الجانبية لمنشور منتظم، فسنجد أنها دائمًا مستطيلات متساوية؛
ثالثا، إذا قارنت أحجام الأضلاع الجانبية، فهي دائما متساوية في المنشور العادي.
رابعا، المنشور الصحيح يكون دائما مستقيما؛
خامسا، إذا كانت الوجوه الجانبية في المنشور العادي لها شكل مربعات، فإن هذا الشكل يسمى عادة مضلع شبه منتظم.

المقطع العرضي المنشور

الآن دعونا نلقي نظرة على المقطع العرضي للمنشور:

العمل في المنزل

الآن دعونا نحاول دمج الموضوع الذي تعلمناه من خلال حل المشكلات.

لنرسم منشورا مثلثيا مائلا، المسافة بين حوافه تساوي: 3 سم، 4 سم، 5 سم، والسطح الجانبي لهذا المنشور يساوي 60 سم2. بوجود هذه المعلمات، ابحث عن الحافة الجانبية لهذا المنشور.

هل تعلم أن الأشكال الهندسية تحيط بنا باستمرار، ليس فقط في دروس الهندسة، ولكن أيضًا في الحياة اليومية هناك أشياء تشبه شكلاً هندسيًا أو آخر.

يوجد في كل منزل أو مدرسة أو عمل جهاز كمبيوتر تكون وحدة نظامه على شكل منشور مستقيم.

إذا التقطت قلم رصاص بسيط، سترى أن الجزء الرئيسي من قلم الرصاص هو المنشور.

أثناء السير على طول الشارع المركزي للمدينة، نرى أنه يوجد تحت أقدامنا بلاطة على شكل منشور سداسي.

A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية

يسمى المضلعان ABCDE وFHKMP الواقعان في مستويات متوازية بقاعدتي المنشور، ويسمى العمودي OO 1 الذي ينخفض ​​من أي نقطة من القاعدة إلى مستوى آخر بارتفاع المنشور. متوازيات الأضلاع ABHF، BCKH، إلخ. تسمى الوجوه الجانبية للمنشور، وتسمى جوانبها SC، DM، وما إلى ذلك، التي تربط القمم المقابلة للقواعد، بالحواف الجانبية. في المنشور، تكون جميع الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض كأجزاء من خطوط مستقيمة متوازية محاطة بين مستويات متوازية.
يسمى المنشور خطًا مستقيمًا ( الشكل 282، ب) أو منحرف ( الشكل 282، ج) حسب ما إذا كانت أضلاعه الجانبية متعامدة أو مائلة على القواعد. المنشور المستقيم له وجوه جانبية مستطيلة. يمكن اعتبار الحافة الجانبية بمثابة ارتفاع هذا المنشور.
يسمى المنشور القائم منتظما إذا كانت قواعده مضلعات منتظمة. في مثل هذا المنشور، تكون جميع الوجوه الجانبية مستطيلات متساوية.
لتصوير المنشور في رسم معقد، عليك أن تعرف وتكون قادرًا على تصوير العناصر التي يتكون منها (نقطة، خط مستقيم، شكل مسطح).
وصورتها في الرسم المعقد (شكل 283، أ - ط)

أ) رسم معقد للمنشور. تقع قاعدة المنشور على مستوى الإسقاط P 1؛ أحد الوجوه الجانبية للمنشور موازي لمستوى الإسقاط P 2.
ب) القاعدة السفلية لمنشور DEF هي شكل مسطح - مثلث منتظم يقع في المستوى P 1؛ جانب المثلث DE يوازي المحور السيني 12 - يندمج الإسقاط الأفقي مع القاعدة المعطاة، وبالتالي يساوي حجمه الطبيعي؛ يندمج الإسقاط الأمامي مع المحور x 12 ويساوي جانب قاعدة المنشور.
ج) القاعدة العلوية لمنشور ABC عبارة عن شكل مسطح - مثلث يقع في مستوى أفقي. يندمج الإسقاط الأفقي مع إسقاط القاعدة السفلية ويغطيها، لأن المنشور مستقيم؛ الإسقاط الأمامي - مستقيم، موازٍ للمحور x 12، على مسافة ارتفاع المنشور.
د) الوجه الجانبي لمنشور ABED هو شكل مسطح - مستطيل يقع في المستوى الأمامي. الإسقاط الأمامي - مستطيل يساوي الحجم الطبيعي للوجه؛ الإسقاط الأفقي هو خط مستقيم يساوي جانب قاعدة المنشور.
ه) و و) الوجوه الجانبية لمنشوري ACFD و CBEF عبارة عن أشكال مسطحة - مستطيلات تقع في مستويات إسقاط أفقية تقع بزاوية 60 درجة إلى مستوى الإسقاط P 2. الإسقاطات الأفقية عبارة عن خطوط مستقيمة، تقع على المحور x 12 بزاوية 60 درجة، وتساوي الحجم الطبيعي لجوانب قاعدة المنشور؛ الإسقاطات الأمامية عبارة عن مستطيلات، صورتها أصغر من الحجم الطبيعي: جانبان من كل مستطيل يساوي ارتفاع المنشور.
ز) الحافة AD للمنشور هي خط مستقيم، متعامد مع مستوى الإسقاط P 1. الإسقاط الأفقي - نقطة؛ أمامي - مستقيم، عمودي على المحور × 12، يساوي الحافة الجانبية للمنشور (ارتفاع المنشور).
ح) الجانب AB للقاعدة العلوية مستقيم، موازيًا للطائرات P 1 و P 2. تكون الإسقاطات الأفقية والأمامية مستقيمة ومتوازية مع المحور x 12 وتساوي جانب القاعدة المعطاة للمنشور. الإسقاط الأمامي متباعد عن المحور السيني 12 على مسافة تساوي ارتفاع المنشور.
ط) رؤوس المنشور. النقطة E - يقع الجزء العلوي من القاعدة السفلية على المستوى P 1. يتزامن الإسقاط الأفقي مع النقطة نفسها؛ أمامي - يقع على المحور x 12. تقع النقطة C - أعلى القاعدة العلوية - في الفضاء. الإسقاط الأفقي له عمق. أمامي - ارتفاع يساوي ارتفاع هذا المنشور.
ويترتب على ذلك: عند تصميم أي متعدد السطوح، تحتاج إلى تقسيمه عقليًا إلى العناصر المكونة له وتحديد ترتيب تمثيلها، والذي يتكون من عمليات رسومية متتالية.يوضح الشكلان 284 و 285 أمثلة على العمليات الرسومية المتسلسلة عند إجراء رسم معقد وتمثيل مرئي (قياس المحاور) للمنشورات.
(الشكل 284).

منح:
1. تقع القاعدة على مستوى الإسقاط P 1.
2. لا يكون أي من جانبي القاعدة موازيًا للمحور السيني 12.
I. الرسم المعقد.
أنا، أ.
نقوم بتصميم القاعدة السفلية - مضلع يقع، حسب الحالة، في المستوى P1.
أنا، ب.
قمنا بتصميم القاعدة العلوية - مضلع يساوي القاعدة السفلية مع جوانب موازية للقاعدة السفلية، متباعدة عن القاعدة السفلية بارتفاع H للمنشور المحدد.
أنا، ج.
نقوم بتصميم الحواف الجانبية للمنشور - الأجزاء المتوازية؛ وإسقاطاتها الأفقية عبارة عن نقاط تندمج مع إسقاطات رؤوس القواعد؛ أمامي - مقاطع (متوازية) يتم الحصول عليها من خلال ربط إسقاطات رؤوس القواعد التي تحمل الاسم نفسه بخطوط مستقيمة. تم تصوير النتوءات الأمامية للأضلاع، المأخوذة من نتوءات القمم B وC للقاعدة السفلية، بخطوط متقطعة على أنها غير مرئية.
أنا، ز. المعطى: إسقاط أفقي F 1 للنقطة F على القاعدة العلوية وإسقاط أمامي K 2 للنقطة K على الوجه الجانبي. مطلوب تحديد مواقع توقعاتهم الثانية.بالنسبة للنقطة F سوف يتزامن الإسقاط الثاني (الأمامي) F 2 للنقطة F مع إسقاط القاعدة العلوية، كنقطة تقع في مستوى هذه القاعدة؛ يتم تحديد مكانه بواسطة خط الاتصال العمودي.
بالنسبة للنقطة K - الإسقاط الثاني (الأفقي) K 1 للنقطة K سوف يتزامن مع الإسقاط الأفقي للوجه الجانبي، كنقطة تقع في مستوى الوجه؛ يتم تحديد مكانه بواسطة خط الاتصال العمودي.
إذا ألحقنا قواعد المنشور بهذا التطور، فسنحصل على تطور لسطح المنشور بالكامل. يجب ربط قواعد المنشور بالوجه الجانبي المقابل باستخدام طريقة التثليث.
على القاعدة العلوية للمنشور، باستخدام نصف القطر R وR 1، نحدد موقع النقطة F، وعلى الوجه الجانبي، باستخدام نصف القطر R 3 وH 1، نحدد النقطة K.
ثالثا. تمثيل مرئي للمنشور في القياس.
ثالثا، أ.
نصور القاعدة السفلية للمنشور وفقًا لإحداثيات النقاط A و B و C و D و E (الشكل 284 I، a).
ثالثا، ب.
نصور القاعدة العلوية الموازية للقاعدة السفلية، متباعدة عنها بارتفاع المنشور H.
ثالثا، ج.
نقوم بتصوير الحواف الجانبية من خلال ربط القمم المقابلة للقواعد بخطوط مستقيمة. نحدد العناصر المرئية وغير المرئية للمنشور ونحددها بالخطوط المقابلة لها،

منح:
III، d نحدد النقطتين F و K على سطح المنشور - النقطة F - على القاعدة العلوية يتم تحديدها باستخدام الأبعاد i و e؛ النقطة K - على الوجه الجانبي باستخدام i 1 و H" .
للحصول على صورة متساوية القياس للمنشور وتحديد مواقع النقطتين F وK، ينبغي اتباع نفس التسلسل.
الشكل 285).
I. الرسم المعقد.
1. تقع القاعدة على المستوى P 1.
2. الأضلاع الجانبية موازية للمستوى P 2.
3. لا يتوازى أي من جانبي القاعدة مع المحور x 12
أنا، أ.
نصمم وفقًا لهذا الشرط: القاعدة السفلية عبارة عن مضلع يقع في المستوى P1، والحافة الجانبية عبارة عن قطعة موازية للمستوى P2 ومائلة للمستوى P1.
أنا، ب.
نقوم بتصميم الحواف الجانبية المتبقية - شرائح متساوية ومتوازية مع الحافة الأولى SE.
سنقوم بلف المنشور، مع تدويره في كل مرة حول الحافة الجانبية، ثم سيترك كل وجه جانبي للمنشور على المستوى أثرًا (متوازي أضلاع) يساوي حجمه الطبيعي. سنقوم ببناء المسح الجانبي بالترتيب التالي:
أ) من النقاط أ 2، ب 2، د 2. . . ه 2 (الإسقاطات الأمامية لرؤوس القواعد) نرسم خطوطًا مستقيمة مساعدة متعامدة مع نتوءات الأضلاع.
ب) بنصف القطر R (يساوي جانب القرص المضغوط الأساسي)، نصنع درجة عند النقطة D على الخط المستقيم المساعد المرسوم من النقطة D 2 ؛ من خلال ربط النقاط المستقيمة C 2 و D ورسم خطوط مستقيمة موازية لـ E 2 C 2 و C 2 D، نحصل على الوجه الجانبي CEFD؛
ج) ثم، من خلال ترتيب الوجوه الجانبية التالية بالمثل، نحصل على تطور الوجوه الجانبية للمنشور. للحصول على تطوير كامل لسطح هذا المنشور، نعلقه على الوجوه المقابلة للقاعدة.
ثالثا. تمثيل مرئي للمنشور في القياس متساوي القياس.
ثالثا، أ.

نحن نصور القاعدة السفلية للمنشور والحافة CE، باستخدام الإحداثيات وفقًا لـ (

1. رباعي الأسطح لديه أقل عدد من الحواف - 6.

2. المنشور له عدد n من الوجوه. ما المضلع الذي يقع في قاعدته؟

(ن - 2) - مربع.

3. هل المنشور مستقيم إذا كان وجهاه المتجاوران متعامدين على مستوى القاعدة؟

نعم إنه كذلك.

4. في أي منشور تكون الحواف الجانبية موازية لارتفاعه؟

في المنشور المستقيم.

5. هل المنشور منتظم إذا كانت جميع أضلاعه متساوية مع بعضها البعض؟

لا، قد لا يكون مباشرا.

6. هل يمكن أن يكون ارتفاع أحد الجوانب الجانبية للمنشور المائل هو ارتفاع المنشور أيضًا؟

نعم، إذا كان هذا الوجه متعامدا مع القاعدة.

7. هل يوجد منشور يكون فيه: أ) الحافة الجانبية متعامدة مع حافة واحدة فقط من القاعدة؛ ب) وجه جانبي واحد فقط متعامد مع القاعدة؟

أ) نعم. ب) لا.

8. ينقسم المنشور الثلاثي المنتظم إلى منشورين بواسطة مستوى يمر عبر الخطوط الوسطى للقواعد. ما نسبة مساحات الأسطح الجانبية لهذه المنشورات؟

من خلال النظرية 27 نجد أن الأسطح الجانبية تكون بنسبة 5: 3

9. هل يكون الهرم منتظما إذا كانت جوانبه مثلثات منتظمة؟

10. كم عدد الوجوه المتعامدة مع مستوى القاعدة التي يمكن أن يحتوي عليها الهرم؟

11. هل يوجد هرم رباعي الزوايا تكون أوجهه المقابلة متعامدة مع القاعدة؟

لا، وإلا لكان هناك على الأقل خطان مستقيمان يمران بأعلى الهرم، متعامدين مع قاعدتيه.

12. هل يمكن أن تكون جميع وجوه الهرم الثلاثي مثلثات قائمة؟